Wellen - Wellen - Wellen

 

Entstehung und Ausbreitung

Arten der Wellenausbreitung

Überlagerung von Wellen

Interferenzbedingungen

Interferenz am Doppelspalt

Interferenz am Gitter

Stehende Wellen

 

 

Entstehung und Ausbreitung von Wellen

Eine Schwingung oder auch nur eine Störung, die sich in einem Medium ausbreitet, bezeichnet man als Welle.

Ein Medium besteht aus vielen Teilchen, die irgendwie miteinander gekoppelt sind, sodass die Schwingung eines Teilchens auf das nächste übertragen wird. Das kann eine Kette von miteinander verbundenen Pendeln sein, das kann eine Schnur, ein Gummiseil oder die Saite eines Musikinstruments sein, oder es kann einfach ein Gas wie die Luft sein, indem sich Schallwellen ausbreiten können.

Die Welle bzw. die Störung breitet sich mit einer ganz bestimmten Geschwindigkeit aus: der Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c.

Das folgende Bild zeigt die Ausbreitung einer Welle entlang einer Kette von 20 gekoppelten Teilchen:

Wellenausbreitung

Das erste Teilchen führt hier eine harmonische Schwingung aus. Diese Schwingung wird zeitlich etwas verzögert auf das zweite Teilchen übertragen, dann auf das dritte, das vierte usw..

Die Strecke, welche die Störung bzw. die Welle während einer Schwingungsdauer T des ersten Teilchens zurücklegt, wird Wellenlänge  genannt.

Aus der elementaren Bewegungslehre wissen wir, dass bei gleichförmiger Bewegung die zurückgelegte Strecke gleich der Geschwindigkeit mal der Zeit ist.

Deshalb muss hier offensichtlich (analog zu s=v.t) gelten:

Formel 1

Wovon hängt die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c ab?

  • Je stärker die Kopplung bzw. die Bindungskräfte zwischen den Teilchen sind, umso schneller kann die Schwingungsbewegung von einem Teilchen auf das nächste übetragen werden.
  • Je geringer die Masse und damit die Trägheit der schwingenden Teilchen ist, umso schneller übernehmen sie die Schwingungsbewegung des vorangehenden Teilchens.

 

Die Formel für die Ausbreitungsgeschwindigkeit einer elastischen Querwelle in einer Saite oder enem gespannten Seil bingt diesen Zusammenhang zum Ausdruck:

Formel 2

In der folgenden Tabelle sind einige Beispiele von ungefähren Werten der Schallgeschwindigkeiten in verschiedenen Medien bei ca. 20°C angegeben.

Luft
340 m/s
Helium
1000 m/s
Wasser
1500 m/s
Eisen
5000 m/s

Aufgabe:

Versuchen Sie aufgrund der beiden oben genannten Einflussgrössen auf die Wellenausbreitungsgeschwindigkeiten, diese Zahlen zu erklären.

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Arten der Wellenausbreitung

Das erste Bild zeigt eine ruhende Pendelkette.

Arten der Wellenausbreitung

 

Bei a) schwingen die Teilchen senkrecht zur Ausbreitungsrichtung x. Das nennt man eine Transversalwelle.

In Bild b) schwingen die Teilchen entlang der Ausbreitungsichtung x. Das nennt man eine Longitudinalwelle.

Aufgabe:

Nennen Sie Beispiele von Transversal- und Longitudinalwellen.

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Überlagerung von Wellen

Wasserwellen

Was geschieht, wenn sich zwei Wasserwellen wie im Bild nebenan überschneiden?

Werden die einzelnen Wellen dadurch verändert?

Was geschieht, wenn ein Wellenberg auf ein Wellental trifft?

 

 

 

 

 

 

 

 

Im Schulzimmer kann das mithilfe einer Wasserwellenwanne mit periodischer Anregung untersucht werden.

Deutlich sind die Interferenzhyperbeln an den Stellen zu erkennen, wo ein Wellenberg auf ein Wellental trifft. An diesen Stellen kompensieren sich die Wellen.

Wasserwellenwanne

 

 

 

 

 

 

Die Simulation bei der Überlagerung von zwei Seilwellen zeigt die Details:

Konstr. Überlagerung

Konstruktive Überlagerung: Amplitude beim Übereinanderlaufen (3) verdoppelt

Destr. Überlagerung

Destruktive Überlagerung: Amplitude beim Übereinanderlaufen (3) Null.

 

Nachdem die Wellen übereinander hinweggelaufen sind, schreiten sie unverändert, wie vor der Begegnung, weiter.

Sie stören oder verändern sich bei der Begegnung nicht.

Dies wird als Superpositionsprinzip bezeichnet:

Wellen überlagern sich ungestört,

die Amplituden addieren sich

 

Interferenz

Die von synchron schwingenden Wellenzentren ausgehenden Wellen nennt man kohärent (im Gleichtakt). Sie haben dieselbe Frequenz und dieselbe Amplitude.

Unter Interferenz versteht man die Überlagerung von kohärenten Wellen.

Beispiele:

Kohärente Wellen entstehen, wenn zwei Stifte synchron und gleich stark auf die Wasseroberfläche tupfen (Wasserwellenwanne), wenn zwei Lautsprecher am selben Ausgang eines Tongenerators angeschlossen sind oder im LASER. Mit solchen Wellen sind Interferenzeffekte gut zu beobachten.

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Interferenzbedingungen

Treffen zwei Wellen, die von zwei kohärenten Wellenzentren ausgingen an einem bestimmten Punkt im Raum aufeinander, so überlagern sie sich bzw. interferieren gemäss dem o. g. Superpositionsprinzip.

Haben die beiden Wellen bis zu ihrem Treffpunkt unterschiedlich lange Wege zurückgelegt (was der Normalfall sein wird), nennt man den Wegunterschied den Gangunterschied der beiden Wellen.

Ist im Treffpunkt der Gangunterschied ein vielfaches der Wellenlänge, treffen jeweils immer ein Wellenberg der einen Welle auf einen Wellenberg der anderen Welle bzw. Wellental auf Wellental aufeinander. Wir haben konstruktive Interferenz.

Ist der Gangunterschied ein ungeradzahliges Vielfaches der halben Wellenlänge, so trifft ein Wellenberg der einen Welle immer auf ein Wellental der anderen Welle: Wir haben destruktive Interferenz, die Wellen löschen sich an dieser Stelle aus.

 

Gehen von Zwei Wellenzentren Q1 und Q2 kohärente Wellen aus, kann man die Richtungen unter denen konstruktive Interferenz eintritt (Interferenzmaxima) und die Richtungen unter denen destruktive Interferenz eintritt (Interferenzminima) berechnen:

Interferenzbedingung

 

Aus der Geometrie des oberen Bilds liest man die Beziehung

Formel 3

Die Richtungen der möglichen Interferenzmaxima erhält man für

Formel 4

Die Richtungen der möglichen Interferenzminima erhält man für

Formel 6

Aus der Geometrie der zweiten Abbildung erhält man die Abstände der Interferenzmaxima bzw. minima von der Mittellinie an einer weit entfernten Wand:

Formel 7

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Interferenz am Doppelspalt und am Gitter

Trifft eine ebene Welle auf einen schmalen Spalt, entsteht hinter dem Spalt eine Kreiswelle (sofern die Spaltbreite etwa der Wellenlänge entspricht), wie folgende Abbildung zeigt:

Elementarwelle

Befinden sich zwei solche Spalte nahe beienander, gehen von beiden Spalten kohärente Kreiswellen aus, die miteinander interferieren können, wie die Wellen von zwei kohärenten Wellenzentren von vorhin. Das Ergebnis bzw. das Interferenzmuster ist dasselbe und die Rechnungen für die Richtungen der Interferenzmaxima und -minima auch.

Die folgende Abbildung veranschaulicht das:

Doppelspalt

 

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Interferenz am Gitter

Tritt anstelle eines Doppelspalts ein Gitter aus sehr vielen feinen Spalten, treten im Prinzip dieselben Interferenzeffekte auf wie am Doppelspalt. Die Interfernzmaxima sind nur viel schärfer abgegrenzt. Mit sehr feinen optischen Gittern lassen sich die Eigenschaften des Lichts sehr gut untersuchen.

Interferenz am Gitter

Da das Licht Interferenzeffekte an optischen Gittern zeigt, ist damit der Wellencharakter des Lichtes erwiesen!

 

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Stehende Wellen

Wellen breiten sich oft in einem räumlich begrenzten Medium aus:

  • Elastische Querwellen in einer Saite oder einer festgespannten Schnur
  • Schallwellen in einer Luftsäule eines Blasinstruments
  • Schallwellen in einem abgeschlossenen Korridor oder Treppenhaus usw...

Dabei tritt ein neues Phänomen ein: An den Enden des Mediums (Saite, Korridor, Treppenhaus, Luftsäule etc...) werden die Wellen reflektiert.

Diese reflektierten Wellen überlagern sich dann ständig mit den entgegenlaufenden, einfallenden Wellen.

Das folgende, schöne Java-Applet von Walter Fendt zeigt was dabei geschieht. Klicke auf diesen Link hier.

Das folgend Bild veranschaulicht die Situation ebenfalls:

Stehende Wellen

Die rote Welle läuft nach rechts, die blaue nach links. Die Überlagerung ist die Summe der beiden Sinuskurven (schwarz). Deutlich sind Knoten zu erkennen, das sind Stellen an denen die Amplitude verschwindet und Bäuche, das sind stellen mit maximaler Amplitude. Bäuche und Knoten bleiben an ihrem Ort, sie stehen sozusagen. Daher der Name stehende Welle.

Der Abstand zweier Schwingungsknoten bzw. zweier Schwingungsbäuche entspricht dabei genau der halben Wellenlänge der beiden ursprünglichen Wellen.

 

In einer schwingenden Saite können sich somit folgende Schwingungszustände bilden:

Schwingende Saite

Unten die Grundschwingung (halbe Wellenlänge auf Seillänge), dann die erste Oberschwingung (Wellenlänge auf Seillänge), dann die zweite Oberschwingung (1.5 Wellenlängen auf Seillänge) und zuoberst die dritte Oberschwingung (zwei Wellenlängen auf Seillänge).

Auch bei einseitig offenen Medien entstehen Reflexionen an den offenen Enden und somit stehende Wellen. Das nächste Bild zeigt alle Möglichkeiten:

Stehende Wellen allgemein

 

Das nächste Bild zeigt stehende Schallwellen in einer Lippen-Pfeife:

Pfeifen

Links eine gedeckte (gedackte) Pfeife mit einem offenen Ende an der Lippe. Rechs die offene Pfeife mit zwei freien Enden.

 

Kommunizierende Gefässe

Mit dem oben abgebildeten Experiment können die stehenden Schallwellen nachgewiesen werden. Der linke Behälter lässt sich in der Höhe verstellen. Dadurch ändert sich auch der Wasserspiegel im Zylinder rechts. Wird der Wasserspiegel mit dieser Vorrichting langsam gesenkt, wird der Ton des Lautsprechers bei einer Wassertiefe von 1/4 Wellenlänge und 3/4 der Wellenlänge deutlich verstärkt, da die Luftsäule jetzt heftig mischwingt bzw. in Resonanz gerät.

Mit einem kleinen Mikrofon kann zusätzlich die Intensität im Schallzylinder gemessen werden.

Auch das folgende Experiment macht stehende Schallwellen sichtbar, das Kundtsche Staubrohr:

Kundtsches Staubrohr

Der Glaszylinder ist mit feinem Korkstaub gefüllt, der anfänglich gleichmässig über das Rohr verteilt ist. Werden nun Schallwellen mit der richtigen Frequenz eingestrahlt, so dass sich im Rohr eine stehende Welle bilden kann, wird der Korkstaub in den Schwingungsbäuchen etwas zerstäubt.

 

Auch auf zweidimensionalen Membranan können sich stehende Wellen ausbreiten. Die Cladnischen Klangfiguren zeigen dies sehr schön:

Cladnische Klangfiguren

Die Metallplatten werden anfänglich gleichmässig mit Griesskörnern bestreut. Ein Lautsprecher beschallt die Membran. Die Griesskörner werden von den Schwingungsbäuchen weggeschleudert und sammeln sich in den Schwingungsknoten an.

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